Na matemática, descobriu-se uma “porta universal”: uma operação que substitui todas as fórmulas.

Operador eml: uma base única para a matemática computacional, da aritmética à trigonometria

Na matemática pode estar a surgir um equivalente ao portão lógico NAND - uma operação única através da qual tudo o resto se exprime. Andrzej Odrzywolek, do Instituto de Física Teórica da Universidade Jaguelónica, apresentou um trabalho inovador que pode alterar de forma profunda a forma como entendemos as operações matemáticas fundamentais.

O autor propôs o operador binário eml(x, y) = exp(x) − ln(y), que, em conjunto com a constante 1, é capaz de reproduzir todo o conjunto de funções elementares - da aritmética à trigonometria. Isto significa que a matemática computacional pode ser reduzida a um único “bloco de construção”, tal como os circuitos digitais se reduzem a portas NAND.

O estudo responde a uma questão de fundo: existe, para a matemática contínua, um primitivo universal comparável ao NAND na lógica booleana? Até agora, considerava-se que as funções elementares exigiam um conjunto de operações independentes - adição, multiplicação, logaritmos, trigonometria. O autor demonstra que essa diversidade pode ser condensada numa só operação.

A ideia central assenta no facto de a exponencial e o logaritmo já formarem quase uma base completa para o cálculo. Por exemplo, a multiplicação pode ser escrita como exp(ln a + ln b), e a potenciação como exp(b ln a). O operador eml junta exp, ln e a subtração numa única função. Nos casos mais simples, surgem construções diretas: exp(x) = eml(x, 1), e o logaritmo pode ser obtido através de aplicações encaixadas de eml.

Assim, qualquer expressão passa a assumir a forma de uma árvore binária, em que cada nó corresponde à mesma operação eml. Formalmente, isto é descrito por uma gramática do tipo S → 1 | eml(S, S). Esta estrutura difere radicalmente da notação habitual das fórmulas, onde entram em jogo dezenas de operadores distintos.

Verificação do operador eml e base matemática completa

O autor testou a completude desta base através de uma verificação iterativa do tipo “ablação”. A partir de um conjunto inicial de 36 primitivos matemáticos, os elementos foram removidos sucessivamente e, em seguida, avaliou-se se poderiam ser reconstruídos a partir dos restantes. A verificação foi feita numericamente: em vez de uma prova simbólica, utilizaram-se substituições de constantes transcendentais independentes e a comparação dos valores obtidos. Isso permitiu mostrar que eml e a constante 1 formam, de facto, um conjunto completo.

A consequência prática é uma simplificação radical da regressão simbólica. Normalmente, trata-se de uma tarefa muito complexa, que exige heurísticas, algoritmos genéticos ou pesquisa combinatória num espaço enorme de possíveis fórmulas e operadores. Na representação com eml, todas as fórmulas tornam-se árvores homogéneas do mesmo tipo. Isso permite uniformizar a arquitectura de hardware para cálculos matemáticos, de forma semelhante à construção de circuitos digitais a partir de transístores idênticos ou portas NAND. Tal pode conduzir a dispositivos de computação mais eficientes, mais compactos e, talvez, mais rápidos para tarefas científicas e de engenharia.

O trabalho também descreve a possibilidade de criar um compilador EML, capaz de converter fórmulas em expressões equivalentes através de eml. Essas expressões podem ser calculadas em equipamento com uma única instrução - o próprio operador. Esses compiladores podem gerar código que corre em hardware EML especializado ou ser emulado em computadores tradicionais, mas com a garantia de uma estrutura unificada. Isto pode ser útil em sistemas que exijam um elevado grau de determinismo, previsibilidade de desempenho ou minimização de recursos de hardware.

Ao mesmo tempo, surgem limitações. Para gerar certas constantes, como π e i, os cálculos têm de passar para o domínio complexo, uma vez que é necessária a expressão ln(−1). São também discutidos problemas de overflow e de precisão em vírgula flutuante, que exigem restrições adicionais aos intervalos de valores.

Num contexto mais amplo, o estudo mostra que a estrutura das funções elementares pode ser bastante mais simples do que se pensava. Se a abordagem escalar, poderá aproximar a aprendizagem automática da ciência clássica: em vez de modelos que apenas produzem previsões, passa a existir a possibilidade de extrair automaticamente leis matemáticas exactas a partir de dados.

O artigo não especifica de forma directa como foi feita a verificação formal externa. A publicação no arXiv (arXiv:2603.21852v2) sugere que o trabalho passou por alguma forma de revisão e que seguirá esse processo no âmbito de uma futura publicação numa revista científica. A versão v2 indica que o trabalho poderá ter sido actualizado ou corrigido após a publicação inicial, possivelmente com base em comentários ou sugestões. No entanto, os detalhes concretos da revisão externa não são apresentados no próprio artigo. Assim, a principal verificação do estudo foi realizada pelo próprio autor, recorrendo a métodos rigorosos de computação e de verificação.